量子群典范基的参数化和Hall代数范畴化

The Parameterization of Canonical Bases and Categorification of Hall Algebras

作者: 专业:数学 导师:肖杰 年度:2013 学位:博士 

关键词
Ringel-Hall代数 BGP反射函子 量子群 典范基 Lusztig对称子

Keywords
Ringel-Hall algebra, BGP-reflection functor, quantum group, canonical ba-sis, Lusztig’s symmetry
        本学位论文研究的主要内容为代数表示论和量子群的变形(U|˙)及其典范基之间的关系。尤其将研究:(1)根范畴和(U|˙)的典范基之间的关系;(2)BGP反射函子和(U|˙)上的Lusztig对称子之间的关系;(3)Lusztig对称子的几何实现。对任意的可对称化的Kac-Moody李代数,Lusztig在[1]中定义了相应的量子群的变形(U|˙)及其典范基。对有限型和仿射型对称李代数,本论文将定义一个仅仅依赖根范畴的集合并证明这个集合和(U|˙)的典范基一一对应。我们首先考虑有限型的情况,这时根范畴中所有对象的同构类构成的集合仅仅依赖根范畴,对这个集合中的任意一个元素,可以定义(U|˙)中的一个PBW型基元素,进而得到(U|˙)的一组PBW型基。然后可以通过这组基得到一组对合(ˉ)作用下不变的基,这组基和(U|˙)的典范基有一一对应。仿射型时,利用Lin,Xiao和Zhang在[2]中定义的U~+的PBW型基,我们也可以定义一个仅仅依赖根范畴的集合,并证明这个集合和(U|˙)的典范基一一对应。Lusztig在U和(U|˙)上定义了一系列对称子。由于double Ringel-Hall代数可以实现量子群,所以可以利用BGP反射函子诱导double Ringel-Hall代数上的一些算子,来实现U上的Lusztig对称子并证明它们的一些重要性质,比如辫子群关系。本论文将定义Ringel-Hall代数的一个变形˙,以及˙上的Lusztig对称子,并利用BGP反射函子诱导˙上的一些算子。可以证明,这些算子限制到(U|˙)上,可以实现(U|˙)上的Lusztig对称子。同样这些算子也可以实现˙上的Lusztig对称子。注意到U~+在Lusztig对称子T_i下的像不包含在U~+中,所以Lusztig[3]研究了U~+的两个子代数_if和~if,其中_if为U~+中在T_i下的像仍然在U~+中的元素构成的集合,~if为_if在T_i下的像。这时典范基可以诱导_if的基_iB和~if的基~iB。Lusztig也说明了T_i诱导的映射T_i:if→if把基iiB映到基B,这是[3]中关于典范基和Lusztig对称子关系的主定理。我们将给出_if和~if的几何构造,并利用单的反常层实现它们的基_iB和~iB。然后我们将给出T_i:_if→~if的几何构造,并利用这种构造重新证明关于典范基和Lusztig对称子关系的主定理。
    The main object in this thesis is to study the relation between representation theoryof algebras and the modified forms(U|˙) of quantum groups and their canonical bases, andin particular, to study:(1), the relation between root categories and canonical bases of(U|˙);(2), the relation between BGP-reflection functors and Lusztig’s symmetries on(U|˙);(3), thegeometric realizations of Lusztig’s symmetries.For a symmetrizable Kac-Moody Lie algebra, Lusztig introduced the modified form(U|˙) of the corresponding quantum group and its canonical basis in [1]. In this thesis, for asymmetric Lie algebra of finite or afne type, we define a set which depends only on theroot category and prove that there is a bijection between the set and the canonical basis of(U|˙). First, we consider the case of finite type. Now, the set of all isomorphism classes in theroot category depends only on the root category, and for any element in this set, we candefine a PBW type element in(U|˙). Then we can get a PBW type basis of(U|˙). By this basis,we can get a(ˉ)-invariant basis. There is a bijection between the(ˉ)-invariant basis and thecanonical basis. For a symmetric Lie algebra of afne type, basing on the construction ofthe PBW type basis of U~+by Lin, Xiao and Zhang in [2], we also construct a set, whichdepends only on the root category, and prove that there is a bijection between the set andthe canonical basis of(U|˙).Lusztig introduced some symmetries on U and(U|˙). In view of the realization of U bythe double Ringel-Hall algebra, one can apply the BGP-reflection functors to the doubleRingel-Hall algebra to obtain Lusztig’s symmetries on U and their important properties,for instance, the braid relations. In this thesis, we define a modified form˙of the Ringel-Hall algebra and Lusztig’s symmetries on˙. One can apply the BGP-reflection functorsto˙and get some operators on it. The restriction of these operators on(U|˙) realize theLusztig’s symmetries on(U|˙). Also these operators can realize the Lusztig’s symmetries on(?).Note that the image of U~+under Lusztig’s symmetry T_iis not contained in U~+.Hence Lusztig[3]studied two subalgebrasiif andf in U~+, whereif is consisted of theelements in U~+, the images of which under T_iare contained in U~+, and~if is the image of_if under T_i. Now the canonical basis induces a basis_iB of_if and a basis~iB of~if. Lusztigalso showed that the operator T_i:_if→~if induced by T_imaps the basis_iB to the basis ~iB. This is the main theorem in [3] on the relation between canonical basis and Lusztig’ssymmetries. In this thesis, we give the geometric realizations ofif and~if, and simpleperverse sheaves realize the bases_iB and~iB. Then we give the geometric realization ofT_i:_if→~if and reprove the theorem on the relation between canonical basis and Lusztig’ssymmetries using the geometric realization.
        

量子群典范基的参数化和Hall代数范畴化

摘要3-4
Abstract4-5
主要符号对照表8-9
第1章 引言9-14
    1.1 研究背景和意义9-11
    1.2 研究内容11-13
    1.3 论文结构安排13-14
第2章 预备知识14-35
    2.1 量子群14-19
        2.1.1 Cartan datum14-15
        2.1.2 量子群15-16
        2.1.3 代数 f16-17
        2.1.4 代数 (U|˙)17-18
        2.1.5 (U|˙)的另一种定义18-19
        2.1.6 Lusztig对称子19
    2.2 赋值箭图及其表示范畴19-22
        2.2.1 赋值箭图20
        2.2.2 表示范畴20-22
        2.2.3 根范畴22
    2.3 量子群的典范基22-27
        2.3.1 f的几何实现以及典范基23-26
        2.3.2 (U|˙)的典范基26-27
    2.4 Hall代数27-35
        2.4.1 Ringel-Hall代数27-28
        2.4.2 Ringel-Hall代数的结构28-29
        2.4.3 Double Ringel-Hall代数29-31
        2.4.4 (H|˙)31-33
        2.4.5 Lusztig对称子33-35
第3章 (U|˙)的典范基的参数化35-58
    3.1 有限型35-41
        3.1.1 f的PBW型基35-36
        3.1.2 (U|˙)1_λ的PBW型基36-37
        3.1.3 (U|˙)1_λ的 ()|-不变的基37-40
        3.1.4 (U|˙)1_λ的典范基的参数化40-41
    3.2 仿射型41-58
        3.2.1 f的PBW型基41-48
        3.2.2 (U|˙)1_λ的PBW型基48-52
        3.2.3 (U|˙)1_λ的 ()|-不变的基52-56
        3.2.4 (U|˙)1_λ的典范基的参数化56-58
第4章 Lusztig对称子的代数实现58-76
    4.1 BGP反射函子和Lusztig对称子58-64
        4.1.1 BGP反射函子58-59
        4.1.2 Lusztig对称子的构造59-62
        4.1.3 辫子群关系62-64
    4.2 (H|˙)上的BGP反射函子和Lusztig对称子64-67
        4.2.1 Lusztig对称子的构造64-67
        4.2.2 辫子群关系67
    4.3 定理4.1的证明67-76
第5章 Lusztig对称子的几何构造76-97
    5.1 代数_if 和~if76-77
    5.2 代数_if 和~if 以及 T_i:_if →~if 的 Hall 代数构造77-83
        5.2.1 代数 f 的 Hall 代数构造77-78
        5.2.2 代数_if 的 Hall 代数构造78-81
        5.2.3 代数~if 的 Hall 代数构造81-82
        5.2.4 T_i:if →if 的 Hall 代数构造82-83
    5.3 代数_if 和~if 以及 T_i:_if →~if 的几何构造83-96
        5.3.1 代数 f 的几何构造83-85
        5.3.2 代数_if 的几何构造85-90
        5.3.3 代数~if 的几何构造90-92
        5.3.4 T_i:_if →~if 的几何构造92-96
    5.4 应用 定理5.1的一个新证明96-97
第6章 结论97-98
参考文献98-102
致谢102-104
个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果104


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