几类微分方程多点边值问题的解

Solutions for Several Kinds of Multi-point Boundary Value Problems of Differential Equations

作者: 专业:基础数学 导师:刘衍胜 年度:2012 学位:硕士  院校: 山东师范大学

关键词
非线性 不动点 多点边值问题 混合单调

Keywords
Nonlinear;Fixed point theorem;Multi-point boundary value prob-,,,lem;Mixed monotone;Cone;
        多点边值问题的研究起源于许多不同的应用数学领域.近几十年来,在数学、物理、工程学和控制论、生物学、经济学等许多科学领域出现了各种各样的非线性问题。在解决这些非线性问题的过程中,逐渐产生了现代分析数学中非常重要的方法和理论,主要包括:半序方法、上下解方法、不动点理论、拓扑度方法、锥理论和分歧理论等,成为当今解决科技领域中层出不穷的非线性问题所需的富有成效的理论工具。本文主要利用不动点指数、不动点理论、混合单调方法、锥理论研究几类非线性微分方程多点边值问题解的存在性.有关微分方程边值问题解的存在性和多解性从二十世纪八十年代以来得到了广泛的研究(如文[3-7],[9-48]).在此基础上,本文更进一步研究了几类微分方程多点边值问题解的存在性.第一章讨论了带脉冲的p-Laplace算子多点边值问题:多个正解的存在性,其中φp(s)=|s|p-2s,p>1,φp-1=φq,1/p+1/q=1,0<t1<t2<…<tm<1,0<ζ1<ζ2<…<ζl<1且ζi≠tk,i=1,2…l,k=1,2,…,m,△u|t=tk=u(tk+)-u(tk-)在文[7]中作者利用Krasnosel’skii不动点定理考虑了该问题一个正解的存在性.但对于该问题多个解的存在性结果,据我们所知还很少有人研究.因此,本章考虑了此问题,通过利用全连续算子的不动点指数定理、不动点定理及Banach空间中锥理论得到此类带脉冲的p-Laplace算子多点边值问题多个正解的存在性.第二章第一部分利用Banach映像原理研究了如下一阶半线性多点边值问题的解的存在唯一性,其中M≠0,0=r0<r1<…<rm=T,λi∈R,i=0,1,2…m.第二部分利用混合单调算子不动点定理得到了如下一阶多点边值问题解的存在唯一性其中M≠0,λ>0,0=r0<r1<…<rm=T,λi∈R,i=0,1,2…m.φ(u(t))=∫0ta(s)u(s)ds上面边值问题的格林函数的一般形式在[13]中已经被推导出来,其中ro可能不等于O,rm可能不等于T.[13]中分别给出了在ro>0和ro=0时的格林函数,并给出了上面边值问题的格林函数的一般形式.文章[13]的主要成果是研究了格林函数的正负号,并讨论了上面线性问题解的符号.作者在文章最后总结的时候写到,文章中所得到的结果对于非线性问题的讨论是非常有帮助的.鉴于上面结构的非线性问题的研究成果还很少,所以在上面文章的基础之上,本章讨论了上面两种非线性问题解的存在唯一性.第三章讨论了如下分数阶微分方程D0+αu(t)+f(t,u(t))=0,t∈(0,1).分别带有如下两种三点边值条件u(0)=0,D0+βu(1)=m1D0+βu(ζ)和u(0)=0,u(1)=m2u(ζ),其中1<α<2,0<β≤1,α-β-1≥0,0≤m1≤1,0<m2,ζ<1,且D(?)是标准的Riemann-Liouville导数.文献[38]和[39]分别得到了带上面两种边值条件系统格林函数的一些特性,并利用不动点定理和混合单调方法得到了一些正解的存在性条件.对于分数阶多点边值问题三个或三个以上正解的存在性问题还很少有人研究.本章利用Leggett-Williams不动点定理分别给出了带有上面两种边值条件系统三个非负解的存在性.
    Multi-point boundary value problems originated in many different areas of ap-plied mathematics. In recent decades, a variety of nonlinear problems emerged in mathematics, physics, engineering and control theory, biology, economics and many other fields of science. When solving these nonlinear problems, there appeared many important analytical methods and theories, including:semi-order method, the up-per and lower solution method, fixed point theory, topological degree methods, the cone theory and bifurcatio...
        几类微分方程多点边值问题的解

中文摘要5-8
英文摘要8-10
前言11-12
第一章 带脉冲的p-Laplace算子多点边值问题12-19
    §1.1 引言及预备知识12-16
    §1.2 至少两个正解的存在性16-18
    §1.3 应用18-19
第二章 一阶非线性多点边值问题正解的存在唯一性19-31
    §2.1 引言及预备知识19-23
    §2.2 基于Banach映像原理的解的存在唯一性23-25
    §2.3 基于混合单调方法的解的存在唯一性25-29
    §2.4 例子29-31
第三章 非线性分数阶微分方程三点边值问题三个非负解的存在性31-42
    §3.1 引言31-32
    §3.2 预备知识32-35
    §3.3 主要结果35-40
    §3.4 例子40-42
参考文献42-47
攻读硕士学位期间发表或接受发表的论文47-48
致谢48


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